Question

4．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，Q为AD的中点，M是棱PC的中点，PA=PD=PC，BC=$\frac{1}{2}$AD=2，CD=4
（1）求证：直线PA∥平面QMB；
（2）若PC=2$\sqrt{5}$，求三棱锥P-MBQ的体积．

Answer 1

分析 （1）连结BQ，AC，交于点O，推导出四边形BCDQ是矩形，从而BQ∥CD，再求出OM∥PA，由此能证明直线PA∥平面QMB．
（2）由点P到平面BQM的距离等于点A到平面BMQ的距离，从而V_P-MBQ=V_A-MBQ=V_M-ABQ，由此能求出三棱锥P-MBQ的体积．

解答 证明：（1）连结BQ，AC，交于点O，
∵Q是AD中点，∴BC∥QD，BC=QD，
∴四边形BCDQ是矩形，
∴BQ∥CD，又Q是AD中点，
∴O是AC中点，又M是PC的中点，
∴OM∥PA，又OM?面QMB，PA?平面QMB，
∴直线PA∥平面QMB．
解：（2）由（1）知PA∥平面QBM，
∴点P到平面BQM的距离等于点A到平面BMQ的距离，
∴V_P-MBQ=V_A-MBQ=V_M-ABQ，
∵PA=PC=PD=2$\sqrt{5}$，
∴点P在平面ADC内的射影是△ADC的外心，
又△ADC是直角三角形，
∴点P在平面ABC内的射影是AC的中点O，即PO⊥平面ABCD，
在Rt△PAO中，
∵PA=2$\sqrt{5}$，AO=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$$\sqrt{A{D}^{2}+C{D}^{2}}$=$\frac{1}{2}\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴PO=$\sqrt{P{A}^{2}-A{O}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{5}）^{2}-（2\sqrt{2}）^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∵M是PC的中点，
∴点M到平面ABQ的距离等于$\frac{1}{2}$PO=$\sqrt{3}$，
∴三棱锥P-MBQ的体积V_P-MBQ=V_M-ABQ=$\frac{1}{3}{S}_{△ABQ}•h$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×4×\sqrt{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．