Question

2．已知函数f（x）=$\sqrt{（x-1）^{2}+1}$+$\sqrt{（x+1）^{2}+1}$，则f（x）的最小值为2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由f（x）=$\sqrt{（x-1）^{2}+1}$+$\sqrt{（x+1）^{2}+1}$的几何意义：点（x，0）到（1，1）与（-1，1）的距离之和，过B作x轴的对称点D（1，-1），当C与O点重合时，丨AC丨+丨BC丨，取最小值，f（x）_min=丨AD丨=$\sqrt{[1-（-1）]^{2}+（-1-1）^{2}}$=2$\sqrt{2}$．

解答 解：由f（x）=$\sqrt{（x-1）^{2}+1}$+$\sqrt{（x+1）^{2}+1}$的几何意义：点（x，0）到（1，1）与（-1，1）的距离之和，
即f（x）表示丨AC丨+丨BC丨，
过B作x轴的对称点D（1，-1），
连接AD，交x轴于O点，
∴当C与O点重合时，丨AC丨+丨BC丨，取最小值，
∴f（x）_min=丨AD丨=$\sqrt{[1-（-1）]^{2}+（-1-1）^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
函数f（x）=$\sqrt{（x-1）^{2}+1}$+$\sqrt{（x+1）^{2}+1}$的最小值为：2$\sqrt{2}$，
故答案为：2$\sqrt{2}$．
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点评 本题考查点到直线的距离公式的几何意义，考查数形结合思想，函数的最值，属于基础题．