Question

设f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数．当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，且g（-3）=0，则不等式f（x）g（x）＞0的解集是（　　）

• A、（-3，0）∪（0，3）
• B、（-3，0）∪（3，+∞）
• C、（-∞，-3）∪（3，+∞）
• D、（-∞，-3）∪（0，3）

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数奇偶性的性质,导数的运算

专题：导数的综合应用

分析：构造函数h（x）=f（x）g（x），利用已知可判断出其奇偶性和单调性，进而即可得出不等式的解集．

解答： 解：令h（x）=f（x）g（x），则h（-x）=f（-x）g（-x）=-f（x）g（x）=-h（x），因此函数h（x）在R上是奇函数．
①∵当x＜0时，h′（x）=f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，∴h（x）在x＜0时单调递增，
故函数h（x）在R上单调递增．
∵h（-3）=f（-3）g（-3）=0，∴h（x）=f（x）g（x）＞0=h（-3），∴x＞-3．
②当x＞0时，函数h（x）在R上是奇函数，可知：h（x）在（0，+∞）上单调递增，且h（3）=-h（-3）=0，
∴h（x）＞0，的解集为（3，+∞）．
∴不等式f（x）g（x）＞0的解集是（-3，0）∪（3，+∞）
故选：B．

点评：恰当构造函数，熟练掌握函数的奇偶性单调性是解题的关键．