Question

若关于x的不等式a≤

3

4

x²-3x+4≤b的解集恰好是[a，b]，则b-a的值为（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：一元二次不等式的解法

专题：函数思想,函数的性质及应用

分析：设f（x）=

3

4

x²-3x+4，其函数图象是抛物线，画两条与x轴平行的直线y=a和y=b，如果两直线与抛物线有两个交点，得到解集应该是两个区间；此不等式的解集为一个区间，所以两直线与抛物线不可能有两个交点，所以直线y=a应该与抛物线只有一个或没有交点，所以a小于或等于抛物线的最小值且a与b所对应的函数值相等且都等于b，利用f（b）=b求出b的值，由抛物线的对称轴求出a的值，从而求出a+b的值．

解答： 解：设f（x）=

3

4

x²-3x+4，当x=-

-3

2× 3 4

=2时，f（x）_min=1，
由题意知a≤1，且f（a）=f（b）=b，a＜b；
由f（b）=b得

3

4

b²-3b+4=b，
解得b=

4

3

（舍去），或b=4，
∴b=4；
∵抛物线的对称轴为x=2，
∴a=0；
∴b-a=4．
故选：D．

点评：本题考查了二次函数的图象与性质的应用问题，解题时应灵活应用函数的思想解决实际问题，是中档题．