Question

15．已知数列{a_n} 通项公式为a_n=At^n-1+Bn+1，其中A，B，t 为常数，且t＞1，n∈N^*．等式（x²+2x+2）¹⁰=b₀+b₁（x+1）+b₂（x+1）²+…+b₂₀（x+1）²⁰，其中b_i（i=0，1，2，…，20）为实常数．
（1）若A=0，B=1，求$\sum_{n=1}^{10}{{a_n}{b_{2n}}}$ 的值；
（2）若A=1，B=0，是否存在常数t 使得$\sum_{n=1}^{10}{（{2{a_n}-{2^n}}）{b_{2n}}}$=2046？若存在，求常数t 的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）A=0，B=1，a_n=n+1．（x²+2x+2）¹⁰=[（x+1）²+1]¹⁰=1+${∁}_{10}^{1}（x+1）^{2}$+${∁}_{10}^{2}（x+1）^{4}$+…+${∁}_{10}^{9}$（x+1）¹⁸+（x+1）²⁰．与等式（x²+2x+2）¹⁰=b₀+b₁（x+1）+b₂（x+1）²+…+b₂₀（x+1）²⁰，比较，其中b_i（i=0，1，2，…，20）为实常数．可得b_2n=${∁}_{10}^{n}$．因此$\sum_{n=1}^{10}{{a_n}{b_{2n}}}$=2${∁}_{10}^{1}$+$3{∁}_{10}^{2}$+…+10${∁}_{10}^{9}$+11${∁}_{10}^{10}$=${∁}_{10}^{1}$+$2{∁}_{10}^{2}$+…+$10{∁}_{10}^{10}$+${∁}_{10}^{1}+{∁}_{10}^{2}$+…+${∁}_{10}^{10}$=${∁}_{10}^{1}$+$2{∁}_{10}^{2}$+…+$10{∁}_{10}^{10}$+2¹⁰-1．由（x+1）¹⁰=1+${∁}_{10}^{1}x$+${∁}_{10}^{2}{x}^{2}$+…+${∁}_{10}^{10}{x}^{10}$，两边求导可得：10（x+1）⁹=${∁}_{10}^{1}$+$2{∁}_{10}^{2}$x+…+$10{∁}_{10}^{10}$x⁹，令x=1可得：$2{∁}_{10}^{2}$+…+$10{∁}_{10}^{10}$，进而得出．
（2）A=1，B=0，a_n=t^n-1+1．存在常数t=2使得$\sum_{n=1}^{10}{（{2{a_n}-{2^n}}）{b_{2n}}}$=2046．代入验证即可得出．

解答 解：（1）A=0，B=1，a_n=n+1．
（x²+2x+2）¹⁰=[（x+1）²+1]¹⁰=1+${∁}_{10}^{1}（x+1）^{2}$+${∁}_{10}^{2}（x+1）^{4}$+…+${∁}_{10}^{9}$（x+1）¹⁸+（x+1）²⁰．
又等式（x²+2x+2）¹⁰=b₀+b₁（x+1）+b₂（x+1）²+…+b₂₀（x+1）²⁰，其中b_i（i=0，1，2，…，20）为实常数．可得b_2n=${∁}_{10}^{n}$．
∴$\sum_{n=1}^{10}{{a_n}{b_{2n}}}$=2${∁}_{10}^{1}$+$3{∁}_{10}^{2}$+…+10${∁}_{10}^{9}$+11${∁}_{10}^{10}$=${∁}_{10}^{1}$+$2{∁}_{10}^{2}$+…+$10{∁}_{10}^{10}$+${∁}_{10}^{1}+{∁}_{10}^{2}$+…+${∁}_{10}^{10}$=${∁}_{10}^{1}$+$2{∁}_{10}^{2}$+…+$10{∁}_{10}^{10}$+2¹⁰-1．
由（x+1）¹⁰=1+${∁}_{10}^{1}x$+${∁}_{10}^{2}{x}^{2}$+…+${∁}_{10}^{10}{x}^{10}$，两边求导可得：10（x+1）⁹=${∁}_{10}^{1}$+$2{∁}_{10}^{2}$x+…+$10{∁}_{10}^{10}$x⁹，
令x=1可得：$2{∁}_{10}^{2}$+…+$10{∁}_{10}^{10}$=10×2⁹．
∴$\sum_{n=1}^{10}{{a_n}{b_{2n}}}$=10×2⁹+2¹⁰-1=3×2¹¹-1．
（2）A=1，B=0，a_n=t^n-1+1．存在常数t=2使得$\sum_{n=1}^{10}{（{2{a_n}-{2^n}}）{b_{2n}}}$=2046．
∵$\sum_{n=1}^{10}{（{2{a_n}-{2^n}}）{b_{2n}}}$=$\sum_{n=1}^{10}$（2t^n-1+2-2ⁿ）${∁}_{10}^{n}$=$\sum_{n=1}^{10}$（2ⁿ+2-2ⁿ）${∁}_{10}^{n}$=2$\sum_{n=1}^{10}$${∁}_{10}^{n}$=2（2¹⁰-1）=2046，
∴存在常数t=2使得$\sum_{n=1}^{10}{（{2{a_n}-{2^n}}）{b_{2n}}}$=2046．

点评 本题考查了二项式定理的应用、导数的运算性质、方程思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．