Question

20．已知函数f（x）=ax³+bx²-3x（a，b∈R）在点处取得x=-1极大值为2．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若对于区间[-2，2]上任意两个自变量的值x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤c，求实数c的最小值．
（注：|f（x₁）-f（x₂）|≤|f（x）_max-f（x）_min|）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出导函数，联立求出a，b的值，得出解析式；
（Ⅱ）由题意可知，只需求出函数的极值即可，根据导函数判断函数的极值，得出c的范围．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=3ax²+2bx-3．
由题意，得$\left\{\begin{array}{l}f（-1）=2\\ f′（-1）=0\end{array}$即$\left\{\begin{array}{l}-a+b+3=2\\ 3a-2b-3=0\end{array}$解得$\left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=0\end{array}$，
所以f（x）=x³-3x．
（Ⅱ）令f′（x）=0，即3x²-3=0，得x=±1．

x	-2	（-2，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，2）	2
f′（x）		+		-		+
f（x）	-2	增	极大值	减	极小值	增	2

因为f（-1）=2，f（1）=-2，所以当x∈[-2，2]时，f（x）_max=2，f（x）_min=-2．
则对于区间[-2，2]上任意两个自变量的值x₁、x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤|f（x）_max-f（x）_min|=4，所以c≥4．
所以c的最小值为4．

点评 本题考查了导函数的概念和导函数的应用，属于基础题型，应熟练掌握．