Question

10．已知在（$\root{3}{x}$-$\frac{1}{2\root{3}{x}}$）ⁿ（n∈N^*）的展开式中，第6项为常数项，那么其展开式中共有3项是有理项．

Answer 1

分析 写出二项展开式的通项，由第6项为常数项求得n=10，再由$\frac{10-2r}{3}$为整数求得r值，则答案可求．

解答 解：（$\root{3}{x}$-$\frac{1}{2\root{3}{x}}$）ⁿ（n∈N^*）的展开式的通项${T}_{r+1}={C}_{n}^{r}（\root{3}{x}）^{n-r}•（-\frac{1}{2\root{3}{x}}）^{r}$=$（-\frac{1}{2}）^{r}•{C}_{n}^{r}•{x}^{\frac{n-2r}{3}}$．
∵第6项为常数项，∴$\frac{n-10}{3}=0$，得n=10．
要使$（-\frac{1}{2}）^{r}•{C}_{n}^{r}•{x}^{\frac{n-2r}{3}}$为有理项，则$\frac{10-2r}{3}$为整数，
∴当r=2，5，8时，$\frac{10-2r}{3}$为整数，
∴展开式中共有3项是有理项．
故答案为：3．

点评 本题考查二项式定理的应用，理解有理项的概念是关键，是基础题．