Question

如图：AD=2，AB=4的长方形ABCD所在平面与正△PAD所在平面互相垂直，M，Q分别为PC，AD的中点．
（1）求证：PA∥平面MBD；
（2）试问：在线段AB上是否存在一点N，使得平面PCN⊥平面PQB？若存在，试指出点N的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）连结AC交BD于O点，连结OM，可得OM是△PAC的中位线，可得PA∥OM，利用线面平行判定定理，即可证出PA∥平面MBD；
（2）正△PAD中，Q为AD的中点，故PQ⊥AD，利用面面垂直的性质定理，证出等边△PAD的高PQ⊥底面ABCD，从而得出CN⊥PQ，根据线面垂直的判定证出CN⊥平面PQB，从而得到平面PCN⊥平面PQB．由此可得在线段AB上存在AB的中点N，使得平面PCN⊥平面PQB．

解答： 解：（1）连AC交BD于O，连MO则O为AC中点，因为M为PC中点，
所以MO∥AP，又AP?平面MBD，MO?平面MBD，则AP∥平面MBD．
（2）当BN=

1

2

时，平面PCN⊥平面PQB．
证明如下：正△PAD中，Q为AD的中点，故PQ⊥AD
∵侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD=AD，
∴PQ⊥底面ABCD，
又CN?平面ABCD，则PQ⊥CN
又因为长方形ABCD中，由相似三角形得，则CN⊥BQ，
∴CN⊥平面PQB，
又∵CN?平面PCN，
所以，平面PCN⊥平面PQB．

点评：本题在四棱锥中证明线面平行、并探索面面垂直的存在性．着重考查了线面垂直的判定与性质、面面垂直的判定与性质和线面平行判定定理等知识，属于中档题．