Question

已知函数f（x）=

1

2

x2-alnx，若函数y=f（x）的图象在点P（2，f（2））处的切线方程为l：y=x+b．
（1）求出实数a，b的值；
（2）当x∈[

1

e

， e]时，不等式f（x）＜k恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）求出原函数的导函数，由f′（2）=1求得a的值，求出f（2），再由点P在直线上解得b的值；
（2）利用导数求出函数f（x）在[

1

e

，e]上的最值，则实数k的取值范围可求．

解答： 解：（1）∵f（x）=

1

2

x2-alnx，
∴f'(x)=x-

a

x

，
∴f'(2)=2-

a

2

=1⇒a=2．
∴f(x)=

1

2

x2-2lnx．
∵点P坐标满足f(x)=

1

2

x2-2lnx，
∴f（2）=2-2ln2，
∵点P在直线l上，∴b=-2ln2，
∴a=2，b=-2ln2；
（2）由（1）知f(x)=

1

2

x2-2lnx．
∴f′(x)=x-

2

x

=

(x- 2 )(x+ 2 )

x

，
由f'（x）=0⇒x=

2

(x=-

2

舍去）．
∴当x∈[

1

e

，

2

]时，f（x）为减函数，当x∈[

2

，e]时，f（x）为增函数．
又f(

1

e

)=2+

1

2e2

，  f(e)=

1

2

e2-2⇒f(

1

e

)＞f(e)，
故当x∈[

1

e

，e]时，函数y=f（x）的最大值为2+

1

2e2

，
∴k＞2+

1

2e2

．

点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的最值，是中档题．