Question

已知f（x）=log₂

1+x

1-x

（1）判断f（x）奇偶性并证明；
（2）判断f（x）单调性并用单调性定义证明；
（3）若f(

1

x-3

)+f(-

1

3

)＜0，求实数x的取值范围．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：转化（1）求解

1+x

1-x

＞0即可．
（2）运用单调性证明则f(x1)-f(x2)=log2

1+x1

1-x1

-log2

1+x2

1-x2

=log2

(1+x1)(1-x2)

(1-x1)(1+x2)

判断符号即可．
（3）根据单调性转化-1＜

1

x-3

＜

1

3

求解．

解答： 解：（1）

1+x

1-x

＞0∴-1＜x＜1∴定义域为（-1，1），关于原点对称      
  f(-x)=log2

1-x

1+x

=log2(

1+x

1-x

)-1=-log2

1+x

1-x

=-f(x)
∴f（x）为（-1，1）上的奇函数                               
设-1＜x₁＜x₂＜1
则f(x1)-f(x2)=log2

1+x1

1-x1

-log2

1+x2

1-x2

=log2

(1+x1)(1-x2)

(1-x1)(1+x2)

又-1＜x₁＜x₂＜1
∴（1+x₁）（1-x₂）-（1-x₁）（1+x₂）=2（x₁-x₂）＜0
即0＜（1+x₁）（1-x₂）＜（1-x₁）（1+x₂）
∴0＜

(1+x1)(1-x2)

(1-x1)(1+x2)

＜1
∴log2

(1+x1)(1-x2)

(1-x1)(1+x2)

＜0
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在（-1，1）上单调递增，
（3）∵f（x）为（-1，1）上的奇函数
∴f(

1

x-3

)＜-f(-

1

3

)=f(

1

3

)
又f（x）在（-1，1）上单调递增
∴-1＜

1

x-3

＜

1

3

∴x＜2或x＞6，

点评：本题综合考查了函数的性质，运用求解单调性，奇偶性，解不等式等问题．