Question

定义在R上的函数f（x）满足对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）．且x＜0时，f（x）＜0，f（-1）=-2
（1）求证：f（x）为奇函数；
（2）试问f（x）在x∈[-4，4]上是否有最值？若有，求出最值；若无，说明理由．
（3）若f（k•3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数的最值及其几何意义,函数恒成立问题

专题：计算题,证明题,函数的性质及应用

分析：（1）令x=y=0，再令y=-x，分别代入f（x+y）=f（x）+f（y）（x，y∈R），化简可得；
（2）由单调性的定义可证明函数f（x）为R上的增函数，从而求f（x）在x∈[-4，4]上的最值；
（3）（法一）由（2）知，f（k•3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0可化为k•3^x＜-3^x+9^x+2，即3^2x-（1+k）•3^x+2＞0对任意x∈R成立．令t=3^x＞0，问题等价于t²-（1+k）t+2＞0对任意t＞0恒成立．令令g（t）=t²-（1+k）t+2，讨论二次函数的最值，从而求k；
（法二）由分离系数法，化k•3^x＜-3^x+9^x+2为k＜3^x+

2

3x

-1，令u=3^x+

2

3x

-1，利用基本不等式求最值，从而求k．

解答： 解：（1）证明：f（x+y）=f（x）+f（y）（x，y∈R），①
令x=y=0，代入①式，得f（0+0）=f（0）+f（0），即 f（0）=0．
令y=-x，代入①式，得 f（x-x）=f（x）+f（-x），又f（0）=0，
则有0=f（x）+f（-x）．
即f（-x）=-f（x）对任意x∈R成立，
则f（x）是奇函数．
（2）解：设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，则x₁-x₂＜0，从而f（x₁-x₂）＜0，
又f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f[x₁+（-x₂）]=f（x₁-x₂）．
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴函数f（x）为R上的增函数，
∴当x∈[-4，4]时，f（x）必为增函数．
又由f（-1）=-2，得-f（1）=-2，∴f（1）=2
∴当x=-4时，f（x）_min=f（-4）=-f（4）=-4f（1）=-8；
当x=4时，f（x）_max=f（4）=4f（1）=8．
（3）（法一）解：由（2）f（x）在R上是增函数，又由（1）f（x）是奇函数．
f（k•3^x）＜-f（3^x-9^x-2）=f（-3^x+9^x+2），
即：k•3^x＜-3^x+9^x+2，
即：3^2x-（1+k）•3^x+2＞0对任意x∈R成立．
令t=3^x＞0，问题等价于t²-（1+k）t+2＞0对任意t＞0恒成立．
令g（t）=t²-（1+k）t+2，
当

1+k

2

≤0，即k≤-1时，
g（t）在（0，+∞）上单调递增，
f（0）=2＞0，符合题意；
当

1+k

2

＞0，即k＞-1时，

1+k 2 ＞0 △=(1+k)2-4×2＜0

，
∴-1＜k＜-1+2

2

，
综上所述，当k＜-1+2

2

时，
f（k•3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0对任意x∈R恒成立．
（法二）（分离系数）由k•3^x＜-3^x+9^x+2得，
k＜3^x+

2

3x

-1，
则u=3^x+

2

3x

-1≥2

2

-1，
（当且仅当3^x=

2

3x

，即3^x=

2

时，等号成立）
故k＜2

2

-1．

点评：本题考查了抽象函数的奇偶性的证明及函数的最值的求法，同时考查了恒成立问题的处理，属于难题．