Question

15．定义在$（0\;，\;\frac{π}{2}）$上的函数f（x），f'（x）是它的导函数，且恒有f（x）•tanx+f'（x）＜0成立，则（　　）

• A． $\sqrt{2}f（\frac{π}{3}）＞f（\frac{π}{4}）$
• B． $\sqrt{3}f（\frac{π}{4}）＞\sqrt{2}f（\frac{π}{6}）$
• C． $f（\frac{π}{3}）＞\sqrt{3}f（\frac{π}{6}）$
• D． $\sqrt{3}f（\frac{π}{3}）＜f（\frac{π}{6}）$

Answer 1

分析 根据条件构造函数g（x）=$\frac{f（x）}{cosx}$，求函数的导数，利用导数和单调性之间的关系判断函数g（x）的单调性即可．

解答 解：定义在$（0\;，\;\frac{π}{2}）$上的函数f（x），恒有f（x）•tanx+f'（x）＜0成立，
即f（x）•sinx+f'（x）cosx＜0，
设g（x）=$\frac{f（x）}{cosx}$，
则g′（x）=$\frac{f′（x）cosx-f（x）（cosx）′}{cos^2x}$=$\frac{f′（x）cosx+f（x）sinx}{cos^2x}$＜0，
则函数g（x）在$（0\;，\;\frac{π}{2}）$上单调递减，
则g（$\frac{π}{3}$）＜g（$\frac{π}{6}$），
即$\frac{f（\frac{π}{3}）}{cos\frac{π}{3}}$＜$\frac{f（\frac{π}{6}）}{cos\frac{π}{6}}$，
即$\sqrt{3}f（\frac{π}{3}）＜f（\frac{π}{6}）$，
故选：D

点评 本题主要考查函数值的大小比较，根据条件构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．