Question

6．已知${（{x^{\frac{2}{3}}}+3{x^2}）^n}$的展开式中，各项系数和与它的二项式系数和的比为32．
（1）求展开式中二项式系数最大的项；
（2）求展开式中所有的有理项．

Answer 1

分析 （1）各项系数和为（1+3）ⁿ=4ⁿ，二项式系数和为2ⁿ，则$\frac{{{2^{2n}}}}{2^n}=32$，解得n=5．再利用二项式定理的展开式的通项公式即可得出．
（2）利用通项公式及其有理项的定义即可得出．

解答 解：（1）各项系数和为（1+3）ⁿ=4ⁿ，二项式系数和为2ⁿ，则$\frac{{{2^{2n}}}}{2^n}=32$，解得n=5．
又因为二项式展开式的通项为${T_{k+1}}=C_5^k{（{x^{\frac{2}{3}}}）^{5-k}}{（3{x^2}）^k}$，
则二项式系数最大的项为第三项${T_3}=C_5^2{（{x^{\frac{2}{3}}}）^3}{（3{x^2}）^2}=90{x^6}$，第四项${T_4}=C_5^3{（{x^{\frac{2}{3}}}）^2}{（3{x^2}）^3}=270{x^{\frac{22}{3}}}$．
（2）${T_{k+1}}={3^k}C_5^k{x^{\frac{10+4k}{3}}}，k=0，1，2，3，4，5$，
所以k=2时${T_3}=C_5^2{（{x^{\frac{2}{3}}}）^3}{（3{x^2}）^2}=90{x^6}$，
k=5时，${T_6}=C_5^5{（{x^{\frac{2}{3}}}）^0}{（3{x^2}）^5}=243{x^{10}}$．

点评 本题考查了二项式定理的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．