Question

14．已知函数f（x）=ln（e^x+e^-x）+x²，则使得f（2x）＞f（x+3）成立的x的取值范围是（　　）

• A． （-1，3）
• B． （-∞，-3）∪（3，+∞）
• C． （-3，3）
• D． （-∞，-1）∪（3，+∞）

Answer 1

分析 先求出${f}^{'}（x）=\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{{e}^{x}+{e}^{-x}}$+2x，再由f（x）为偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，故f（2x）＞f（x+3）等价于|2x|＞|x+3|，解之即可求出使得f（2x）＞f（x+3）成立的x的取值范围．

解答 解：∵函数f（x）=ln（e^x+e^-x）+x²，
∴${f}^{'}（x）=\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{{e}^{x}+{e}^{-x}}$+2x，
当x=0时，f′（x）=0，f（x）取最小值，
当x＞0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
当x＜0时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
∵f（x）=ln（e^x+e^-x）+x²是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，
∴f（2x）＞f（x+3）等价于|2x|＞|x+3|，
整理，得x²-2x-3＞0，
解得x＞3或x＜-1，
∴使得f（2x）＞f（x+3）成立的x的取值范围是（-∞，-1）∪（3，+∞）．
故选：D．

点评 本题考查实数的取值范围的求不地，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．