题目内容
下列关于向量的命题中：
①（
-
）•
=
•
-
•
②（
•
）•
=
•（
•
）
③(
-
)2=
2-2|
|•|
|+
2
④|
|2=
2
⑤(
•
)2=
2•
2
其中正确的是 （请把所有正确的序号都填上）
①（
| a |
| b |
| c |
| a |
| c |
| b |
| c |
②（
| a |
| b |
| c |
| a |
| b |
| c |
③(
| a |
| b |
| a |
| a |
| b |
| b |
④|
| a |
| a |
⑤(
| a |
| b |
| a |
| b |
其中正确的是
考点：命题的真假判断与应用,平面向量数量积的运算
专题：平面向量及应用
分析：根据数量积运算满足分配律，不满足结合律可知命题①、②的真假；根据(
-
)2展开式中的乘积是数量积，可知命题③的真假；由数量积的定义计算，有
2=
•
=|
||
|cos0°，可知命题④的真假；根据数量积的运算律，考虑(
•
)2的计算顺序与
2•
2的计算顺序即可判断命题⑤的真假．
| a |
| b |
| a |
| a |
| a |
| a |
| a |
| a |
| b |
| a |
| b |
解答：
解：在命题①中，因为向量数量积运算满足分配律，
所以有（
-
）•
=
•
-
•
，所以①为真命题．
在命题②中，因为
•
为数量，所以（
•
）•
表示与
共线的向量，
同理，
•（
•
）表示与
共线的向量，
当
与
不共线时，有（
•
）•
≠
•（
•
），
所以②为假命题．
在命题③中，(
-
)2=(
-
)•(
-
)=
2-2
•
+
2=
2-2|
|•|
|cosθ+
2，
其中θ为
与
的夹角，
易知(
-
)2与
2-2|
|•|
|+
2不一定相等，
所以③为假命题．
在命题④中，
2=
•
=|
||
|cos0°=|
|2，
所以④为真命题．
在命题⑤中，(
•
)2=(|
||
|cosθ)2=|
|2|
|2cos2θ，
而
2•
2=|
|2|
|2，易知(
•
)2与
2•
2不一定相等，
所以⑤为假命题．
故答案为：①④．
所以有（
| a |
| b |
| c |
| a |
| c |
| b |
| c |
在命题②中，因为
| a |
| b |
| a |
| b |
| c |
| c |
同理，
| a |
| b |
| c |
| a |
当
| a |
| c |
| a |
| b |
| c |
| a |
| b |
| c |
所以②为假命题．
在命题③中，(
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| a |
| b |
| b |
| a |
| a |
| b |
| b |
其中θ为
| a |
| b |
易知(
| a |
| b |
| a |
| a |
| b |
| b |
所以③为假命题．
在命题④中，
| a |
| a |
| a |
| a |
| a |
| a |
所以④为真命题．
在命题⑤中，(
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
而
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
所以⑤为假命题．
故答案为：①④．
点评：1、本题主要考查了命题真假的判断，关键是熟知数量积的概念，数量积的运算及运算律等．
2、记住如下一些常见的结论，在今后的解题中会有所帮助，尤其是提高解题的速度：
（1）向量数量积运算满足分配律，交换律，但不满足结合律；
（2）(
-
)2=
2-2
•
+
2，(
+
)2=
2+2
•
+
2；
（3）
2-
2=(
+
)•(
-
)；
（4）|
|2=
2．
3、在进行数量积的运算时，特别注意数量积中“积”的符号不可随意省略，也不可以写成“×”．
2、记住如下一些常见的结论，在今后的解题中会有所帮助，尤其是提高解题的速度：
（1）向量数量积运算满足分配律，交换律，但不满足结合律；
（2）(
| a |
| b |
| a |
| a |
| b |
| b |
| a |
| b |
| a |
| a |
| b |
| b |
（3）
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
（4）|
| a |
| a |
3、在进行数量积的运算时，特别注意数量积中“积”的符号不可随意省略，也不可以写成“×”．
练习册系列答案
相关题目