Question

已知x=

1

2

是f（x）=2x-

b

x

+lnx的一个极值点
（1）求b的值；
（2）求函数f（x）的单调增区间；
（3）设g（x）=f（x）-

1

x

，求过点P（2，5）的曲线y=g（x）的切线方程．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）解f′（

1

2

）=0得到b值，再验证x=

1

2

为极值点．
（Ⅱ）在定义域内解不等式f′（x）＞0即可．
（Ⅲ）设切点坐标，表示出切线方程，转化为方程的解的个数问题，进一步利用数形结合即可求得．

解答： 解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．
f′（x）=2+

b

x2

+

1

x

，∵x=

1

2

是f（x）=2x-

b

x

+lnx的一个极值点，
∴f′（

1

2

）=0，即 2+4b+2=0，得b=-1，当b=-1时，f′（x）=

(2x-1)(x+1)

x2

，
当0＜x＜

1

2

时，f′（x）＜0；当x＞

1

2

时，f′（x）＞0，所以x=

1

2

为f（x）的极小值点，
所以b=-1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f′（x）=

(2x-1)(x+1)

x2

，
令f′（x）＞0得x＞

1

2

，
∴函数f（x）的单调增区间为[

1

2

，+∞）．
（Ⅲ）g（x）=f（x）-

1

x

=2x+lnx，
设切点坐标为（x₀，2x₀+lnx₀），则斜率为2+

1

x0

，切线方程为：y-5=（2+

1

x0

）（x-2）．
∴又切线过点（2，5），∴5-2x₀-lnx₀=（2+

1

x0

）（2-x₀），
即lnx₀+

2

x0

-2=0．解得x₀=1，
∴切线方程为：y-5=3（x-2），即3x-y-1=0．

点评：本题考查了应用导数研究函数的极值、单调性问题，难度稍大，注意本题中数形结合思想与转化思想的运用．