Question

已知函数f（x）=x²+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），若关于x的不等式f（x）＜c的解集为（m，m+6），求实数c的值．

Answer 1

考点：一元二次不等式的解法

专题：函数的性质及应用

分析：先根据f（x）=x²+ax+b的值域为[0，+∞）求出b与a的关系，然后结合f（x）＜c的解集为（m，m+6），利用韦达定理建立等式，从而可求出c的值．

解答： 解：∵f（x）=x²+ax+b的值域为[0，+∞），∴△=0，
∴b-

a2

4

=0，∴f（x）=x²+ax+

1

4

a²．
又∵f（x）＜c的解集为（m，m+6），
∴m，m+6是方程x²+ax+

a2

4

-c=0的两根，
由一元二次方程根与系数的关系得

2m+6=-a m(m+6)= a2 4 -c

解得c=9．

点评：本题主要考查了韦达定理的应用，以及函数值域的应用，同时考查了分析问题的能力和运算求解的能力．