Question

13．如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；
（Ⅱ）求该几何体的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出AC⊥BD，AC⊥DE，由此能证明AC⊥平面BDE．
（Ⅱ）该几何体的体积V=V_B-AEF+V_E-ABCD，由此能求出该几何体的体积．

解答 证明：（Ⅰ）∵ABCD是边长为3的正方形，∴AC⊥BD，
∵DE⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴AC⊥DE，
∵BD∩DE=D，∴AC⊥平面BDE．
解：（Ⅱ）∵ABCD是边长为3的正方形，AF∥DE，DE=3AF，
BE与平面ABCD所成角为60°．
∴BD=$\sqrt{9+9}$=3$\sqrt{2}$，ED=3$\sqrt{6}$，AF=$\sqrt{6}$，
由题意得DE⊥平面ABCD，AB⊥平面AEF，
∴该几何体的体积：
V=V_B-AEF+V_E-ABCD
=$\frac{1}{3}×3×[\frac{1}{2}（\sqrt{6}+3\sqrt{6}）×3-\frac{1}{2}×3×3\sqrt{6}]$+$\frac{1}{3}×3\sqrt{6}×{3}^{2}$
=$\frac{21\sqrt{6}}{2}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查几何体的体积的求法，涉及到空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想，是中档题．