Question

2．函数$f（x）=Asin（{ωx+φ}）（{x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜\frac{π}{2}}）$的部分图象如图所示，如果${x_1}，{x_2}∈（{-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}}）$，且f（x₁）=f（x₂），则f（x₁+x₂）=（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．再由条件利用正弦函数的图象的对称性，求得f（x₁+x₂）的值．

解答 解：根据函数$f（x）=Asin（{ωx+φ}）（{x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜\frac{π}{2}}）$的部分图象，可得A=1，$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{ω}$=$\frac{π}{3}$+$\frac{π}{6}$，∴ω=2，
结合五点法作图可得2•（-$\frac{π}{6}$）+φ=0，∴φ=$\frac{π}{3}$，f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
如果${x_1}，{x_2}∈（{-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}}）$，且f（x₁）=f（x₂），结合2x+$\frac{π}{3}$∈（0，π），可得$\frac{{2x}_{1}+\frac{π}{3}+（{2x}_{2}+\frac{π}{3}）}{2}$=$\frac{π}{2}$，
∴x₁+x₂ =$\frac{π}{6}$，∴f（x₁+x₂）=f（$\frac{π}{6}$）=sin（$\frac{π}{3}$+$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故选：C．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．还考查了正弦函数的图象的对称性，属于基础题．