Question

8．已知函数$f（x）=\sqrt{3}sin（{ωx-\frac{π}{6}}）+b$（ω＞0），且函数图象的对称中心到对称轴的最小距离为$\frac{π}{4}$，当$x∈[{0，\frac{π}{4}}]$时，f（x）的最大值为1．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）将函数f（x）的图象向右平移$\frac{π}{12}$个单位长度得到函数g（x）的图象，若g（x）-3≤m≤g（x）+3在$x∈[{0，\frac{π}{3}}]$上恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （I）利用正弦函数的周期性求得ω，再根据函数的最值求得b的值，可得函数f（x）的解析式．
（Ⅱ）根据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再根据g（x）-3≤m≤g（x）+3在x∈[0，$\frac{π}{3}$]上恒成立，求得m的范围．

解答 解：（I）∵函数f（x）=$\sqrt{3}$sin（ωx-$\frac{π}{6}$）+b（ω＞0），且函数图象的对称中心到对称轴的最小距离为$\frac{π}{4}$，
∴$\frac{T}{4}$=$\frac{π}{4}$，可得：T=π，由$\frac{2π}{ω}$=π，可得：ω=2，
∴f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{6}$）+b．
∵当x∈[0，$\frac{π}{4}$]时，2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，
∴由于y=sinx在[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]上单调递增，可得当2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{3}$，
即x=$\frac{π}{4}$时，函数f（x）取得最大值f（$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{3}$sin$\frac{π}{3}$+b，
∴$\sqrt{3}$sin$\frac{π}{3}$+b=1，解得b=-$\frac{1}{2}$，
∴f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$．
（Ⅱ）将函数f（x）的图象向右平移$\frac{π}{12}$个单位长度，
得到的图象的函数解析式为：g（x）=$\sqrt{3}$sin[2（x-$\frac{π}{12}$）-$\frac{π}{6}$]-$\frac{1}{2}$=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{3}$）-$\frac{1}{2}$，
∵当x∈[0，$\frac{π}{3}$]时，可得：2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$]，g（x）=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{3}$）-$\frac{1}{2}$∈[-2，1]，
∴g（x）-3∈[-5，-2]，g（x）+3∈[1，4]，
∵g（x）-3≤m≤g（x）+3在x∈[0，$\frac{π}{3}$]上恒成立，∴m∈[-2，1]．

点评 本题主要考查y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质应用，属于中档题．