Question

3．已知函数f（x）=ax³-x+1的图象在点（1，f（1））处的切线过点（2，3）．
（1）求a的值；
（2）求函数f（x）的极值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，求出切线方程，得到关于a的方程，解出即可；
（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可．

解答 解：（1）∵f'（x）=3ax²-1，∴f'（1）=3a-1，
又f（1）=a，∴切线方程为y-a=（3a-1）（x-1），
∵切线过点（2，3），
∴3-a=3a-1，
解得a=1；
（2）由f（x）=3x²-1=0，
解得：${x_1}=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}，{x_2}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
x，f′（x），f（x）的变化如下：

x	$（{-∞，-\frac{{\sqrt{3}}}{3}}）$	$-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$	$（{-\frac{{\sqrt{3}}}{3}，\frac{{\sqrt{3}}}{3}}）$	$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$	$（{\frac{{\sqrt{3}}}{3}，+∞}）$
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增	极大值	减	极小值	增

所以${x_1}=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$是极大值点，${x_2}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$是极小值点，
f（x）的极大值为$f（{-\frac{{\sqrt{3}}}{3}}）=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}+1$；
f（x）的极小值为$f（{\frac{{\sqrt{3}}}{3}}）=-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}+1$．

点评 本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．