Question

19．设各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n满足$2S_n^2-（3{n^2}-n-4）{S_n}$-2（3n²-n）=0，n∈N^*．则数列{a_n}的通项公式是（　　）

• A． a_n=3n-2
• B． a_n=4n-3
• C． a_n=2n-1
• D． a_n=2n+1

Answer 1

分析 由满足$2S_n^2-（3{n^2}-n-4）{S_n}$-2（3n²-n）=0，n∈N^*．变形为：$[2{S}_{n}-（3{n}^{2}-n）]$（S_n+2）=0．已知数列{a_n}的各项均为正数，可得2S_n=3n²-n，利用递推关系即可得出．

解答 解：由满足$2S_n^2-（3{n^2}-n-4）{S_n}$-2（3n²-n）=0，n∈N^*．
因式分解可得：$[2{S}_{n}-（3{n}^{2}-n）]$（S_n+2）=0，
∵数列{a_n}的各项均为正数，
∴2S_n=3n²-n，
当n=1时，2a₁=3-1，解得a₁=1．
当n≥2时，2a_n=2S_n-2S_n-1=3n²-n-2[3（n-1）²-（n-1）]=3n-2，
当n=1时，上式成立．
∴a_n=3n-2．
故选：A．

点评 本题考查了数列的递推关系、因式分解方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．