Question

9．已知抛物线y²=16x上有一点P，F是它的焦点．
（1）若P点准线的距离为20，求P点坐标；
（2）若P点是动点，M是线段PF的中点，求M点的轨迹方程．

Answer 1

分析 （1）利用抛物线y²=16x的准线方程是x=-4，P点准线的距离为20，求出P的横坐标，即可求P点坐标；
（2）先求焦点坐标，假设动点P的坐标，从而可得中点坐标，利用P是抛物线y²=16x上的动点，代入抛物线方程即可求得．

解答 解：（1）∵抛物线y²=16x的准线方程是x=-4，P点准线的距离为20，
∴P的横坐标是16，∴y=±16，
∴P（16，±16）；
（2）抛物线的焦点为F（4，0），设P（p，q）为抛物线一点，则q²=16p，
设Q（x，y）是PF中点，则：x=$\frac{4+p}{2}$，y=$\frac{q}{2}$，将p=2x-4，q=2y代入：q²=16p得：4y²=16（2x-4），
即y²=4（2x-4）．

点评 本题主要考查轨迹方程的求解，利用了代入法，关键是寻找动点之间的关系，再利用已知动点的轨迹求解．