Question

11．某地区今年1月，2月，3月患某种传染病的人数分别为52，61，68．为了预测以后各月的患病人数，甲选择的了模型y=ax²+bx+c，乙选择了模型y=pq^x+r，其中y为患病人数，x为月份数，a，b，c，p，q，r都是常数，结果4月，5月，6月份的患病人数分别为74，78，83，你认为谁选择的模型较好？

Answer 1

分析 由二次函数为y=ax²+bx+c求出解析式，计算x=4、5、6时的函数值；再对函数y=p•q^x+r求出其函数解析式，计算x=4、5、6时的函数值，最后与真实值进行比较决定选择哪一个函数式好．

解答 解：令y=f（x）=ax²+bx+c，
由题意得：$\left\{\begin{array}{l}{a+b+c=52}\\{4a+2b+c=61}\\{9a+3b+c=68}\end{array}\right.$，
解得a=-1，b=12，c=41，
∴f（x）=-x²+12x+41，
∴f（4）=-4²+12×4+41=73＜74，
f（5）=-5²+12×5+41=76＜78，
f（6）=-6²+12×6+41=77＜83；
设y=g（x）=p•q^x+r，
由题意得：$\left\{\begin{array}{l}{g（1）=p•q+r=52}\\{g（2）=p•{q}^{2}+r=61}\\{g（3）=p•{q}^{3}+r=68}\end{array}\right.$，
解得p=-$\frac{729}{14}$，q=$\frac{7}{9}$，r=92.5，
∴g（x）=-$\frac{729}{14}$•（$\frac{7}{9}$^）x+92.5，
∴g（4）=-$\frac{729}{14}$•（$\frac{7}{9}$^）4+92.5≈73，
g（5）=-$\frac{729}{14}$•（$\frac{7}{9}$^）5+92.5≈78，
g（6）=-$\frac{729}{14}$•（$\frac{7}{9}$^）6+92.5≈81，
∵g（4）、g（5）、g（6）比f（4）、f（5）、f（6）更接近真实值，
∴应将y=-$\frac{729}{14}$•（$\frac{7}{9}$^）x+92.5作为模拟函数．

点评 本题考查了根据实际问题选择函数类型的应用问题，也考查了用待定系数法求函数解析式的应用问题，是中档题．