Question

6．已知曲线C的极坐标方程是ρ-4sinθ=0．以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l过点M（1，0），倾斜角为$\frac{3π}{4}$．
（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的参数方程；
（2）设直线l与曲线C交于A、B两点，求|MA|+|MB|．

Answer 1

分析 （1）根据极坐标和参数方程的定义进行求解即可．
（2）设A，B对应的参数分别为t₁，t₂，联立方程求出结合|MA|+|MB|=|t₁|+|t₂|进行计算即可．

解答 解：（1）由ρ-4sinθ=0得ρ=4sinθ⇒ρ²=4ρsinθ⇒x²+y²-4y=0⇒x²+（y-2）²=4，
即曲线C的直角坐标方程为x²+（y-2）²=4，
∵直线l过点M（1，0），倾斜角为$\frac{3π}{4}$．
∴直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcos\frac{3π}{4}=1-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=tsin\frac{3π}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$，（t是参数），
（2）设A，B对应的参数分别为t₁，t₂，把直线的参数方程代入曲线方程得（1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$t）²+（$\frac{\sqrt{2}}{2}$t-2）²=4，
整理得t²-3$\sqrt{2}$t+1=0，
则t₁+t₂=3$\sqrt{2}$，t₁t₂=1，
∴t₁＞0，t₂＞0，
则|MA|+|MB|=|t₁|+|t₂|=|t₁|+|t₂|=3$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查参数方程，极坐标方程的应用，根据相应的转换公式进行化简是解决本题的关键．