Question

15．如图，三棱柱ADE-BCF中，四边形ABCD为平行四边形，DE⊥平面ABCD，AD=DE=1，AB=2，∠BCD=60°．
（I）求证：BD⊥AE；
（Ⅱ）若GE=$\frac{1}{2}$DE，求直线CG与平面BDF所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （I）据线面垂直的判定定理证明BD⊥平面ADE即可证明BD⊥AE；
（Ⅱ）建立空间坐标系，求出平面BDF的法向量，利用向量法结合线面角的关系进行求解即可．

解答 解：（I）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，AD=1，AB=2，∠BCD=60°．
∴∠ADB=∠DBC=90°，且BD=$\sqrt{3}$，
则BD⊥AD，
∵DE⊥平面ABCD，DB?平面ABCD，
∴DE⊥BD，
∵AD∩DE=D，
∴BD⊥平面ADE，
∵AE?平面ADE，
∴BD⊥AE；
（Ⅱ）若GE=$\frac{1}{2}$DE，即G是DE的中点，
∵DE⊥平面ABCD，BD⊥AD，
∴建立以D为坐标原点，DA，DB，DE分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：
则D（0，0，0），A（1，0，0），B（0，$\sqrt{3}$，0），E（0，0，1），G（0，0，$\frac{1}{2}$），
则$\overrightarrow{EF}$=$\overrightarrow{DC}$=$\overrightarrow{AB}$=（-1，$\sqrt{3}$，0），则C（-1，$\sqrt{3}$，0），
设F（x，y，z），则（x，y，z-1）=（-1，$\sqrt{3}$，0），
即x=-1，y=$\sqrt{3}$，z=1，即F（-1，$\sqrt{3}$，1），
$\overrightarrow{DB}$=（0，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{DF}$=（-1，$\sqrt{3}$，1），
设平面BDF的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
由$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{DB}$=$\sqrt{3}$y=0，$\overrightarrow{m}$•DF→=-x+$\sqrt{3}$y+z=0，
则y=0，令x=1，则z=1，即$\overrightarrow{m}$=（1，0，1），
$\overrightarrow{CG}$=（1，-$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$），
设直线CG与平面BDF所成的角为θ，
则sinθ=|cos＜$\overrightarrow{CG}$，$\overrightarrow{m}$＞|=|$\frac{1+\frac{1}{2}}{\sqrt{2}•\sqrt{1+3+\frac{1}{4}}}$=$\frac{\frac{3}{2}}{\sqrt{2}•\frac{\sqrt{17}}{2}}$=$\frac{3\sqrt{34}}{34}$．
即|直线CG与平面BDF所成角的正弦值是$\frac{3\sqrt{34}}{34}$．

点评 本题主要考查空间直线垂直的判断以及线面角的求解，建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法是解决空间角常用的方法．