Question

14．已知曲线E的极坐标方程为$ρ=\frac{4tanθ}{cosθ}$，倾斜角为α的直线l过点P（2，2）．
（1）求E的直角坐标方程和直线l的参数方程；
（2）设l₁，l₂是过点P且关于直线x=2对称的两条直线，l₁与E交于A，B两点，l₂与E交于C，D两点．求证：|PA|：|PD|=|PC|：|PB|．

Answer 1

分析 （1）由ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，ρsinθ=y，能求出曲线的直角坐标方程；由三角函数的关系求出直线l的参数方程即可；
（2）利用韦达定理和弦长公式能求出|PA|•|PB|及|PC|•|PD|的值，从而证出结论．

解答 解：（1）∵E的极坐标方程为$ρ=\frac{4tanθ}{cosθ}$，
∴ρ²cos²θ=4ρsinθ，
∴E：x²=4y（x≠0），
∴倾斜角为α的直线l过点P（2，2），
∴l：$\left\{\begin{array}{l}x=2+tcosα\\ y=2+tsinα\end{array}\right.$（t为参数）    （5分）
（2）∵l₁，l₂关于直线x=2对称，
∴l₁，l₂的倾斜角互补．设l₁的倾斜角为α，则l₂的倾斜角为π-α，
把直线l₁：$\left\{\begin{array}{l}x=2+tcosα\\ y=2+tsinα\end{array}\right.$（t为参数）代入x²=4y并整理得：
t²cos²α+4（cosα-sinα）t-4=0，
根据韦达定理，t₁t₂=$-\frac{4}{{{{cos}^2}α}}$，即|PA|×|PB|=$\frac{4}{{{{cos}^2}α}}$．（8分）
同理即|PC|×|PD|=$\frac{4}{{{{cos}^2}（π-α）}}$=$\frac{4}{{{{cos}^2}α}}$．
∴|PA|×|PB|=|PC|×|PD|，
即|PA|：|PD|=|PC|：|PB|．（10分）

点评 本题考查曲线的极坐标方程化为直角坐标方程的应用，考查|PA|•|PB|及直线的倾斜角α的值的求法，是中题，解题时要注意韦达定理和弦长公式的合理应用．