Question

11．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，∠ABC=90°，△ABC≌△ADC，PA=AC=2AB=2，E是线段PC的中点．
（I）求证：DE∥面PAB；
（Ⅱ）求二面角D-CP-B的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设线段AC的中点为O，连接OD，OE，推导出四边形ABOD是平行四边形，从而DO∥AB，进而面ODE∥面PAB，由此能证明DE∥面PAB．
（Ⅱ）以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，过点B平行于AP的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D-CP-B的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）设线段AC的中点为O，连接OD，OE，
∵∠ABC=90°，∴BO=$\frac{1}{2}AC=1$，
同理，DO=1，又∵AB=AD=1，
∴四边形ABOD是平行四边形，∴DO∥AB，
又∵OD∩OE=O，PA∩AB=A，OD，OE?平面ODE，PA，AB?面PAB，
∴面ODE∥面PAB，
又∵DE?面ODE，∴DE∥面PAB．
解：（Ⅱ）∵AB⊥BC，PA⊥面ABCD，
∴以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，过点B平行于AP的直线为z轴，建立空间直角坐标系，
则B（0，0，0），C（0，$\sqrt{3}$，0），P（1，0，2），D（$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），
$\overrightarrow{BC}$=（0，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{BP}$=（1，0，2），$\overrightarrow{DC}$=（-$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），$\overrightarrow{DP}$=（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，2），
设面PBC的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BP}=x+2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=\sqrt{3}y=0}\end{array}\right.$，取x=2，得$\overrightarrow{n}$=（2，0，-1），
设平面DPC的法向量为$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DP}=-\frac{1}{2}a-\frac{\sqrt{3}}{2}b+2c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DC}=-\frac{3}{2}a+\frac{\sqrt{3}}{2}b=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，$\sqrt{3}$，1），
设二面角D-CP-B的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{5}•\sqrt{5}}$=$\frac{1}{5}$，
∴二面角D-CP-B的余弦值为$\frac{1}{5}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．