Question

1．在直角坐标系中，直线l过定点（-1，0），且倾斜角为α（0＜α＜π），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ=cosθ（ρcosθ+8）．
（1）写出l的参数方程和C的直角坐标方程；
（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，且$|AB|=8\sqrt{10}$，求α的值．

Answer 1

分析 （1）由直线l过定点（-1，0），且倾斜角为α（0＜α＜π），能求出l的参数方程；曲线C的极坐标方程转化为ρ²=ρ²cos²θ+8ρcosθ，由此能求出曲线C的直角坐标方程．
（2）把直线方程代入抛物线方程得：t²sin²α-8tcosα+8=0，从而${t_1}+{t_2}=\frac{8cosα}{{{{sin}^2}α}}，{t_1}{t_2}=\frac{8}{{{{sin}^2}α}}$，由此利用$|AB|=8\sqrt{10}$，能求出α的值．

解答 解：（1）∵直线l过定点（-1，0），且倾斜角为α（0＜α＜π），
∴l的参数方程为$l：\left\{{\begin{array}{l}{x=-1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}}\right.$，（α为参数），
∵曲线C的极坐标方程为ρ=cosθ（ρcosθ+8）．
∴ρ²=ρ²cos²θ+8ρcosθ，
∴曲线C的直角坐标方程为：y²=8x．
（2）把直线方程代入抛物线方程得：t²sin²α-8tcosα+8=0，
∴${t_1}+{t_2}=\frac{8cosα}{{{{sin}^2}α}}，{t_1}{t_2}=\frac{8}{{{{sin}^2}α}}$，
∵$|AB|=8\sqrt{10}$，
∴$|{AB}|=|{{t_1}-{t_2}}|=\sqrt{{{（{{t_1}+{t_2}}）}^2}-4{t_1}{t_2}}=\frac{{4\sqrt{4-6{{sin}^2}α}}}{{{{sin}^2}α}}=8\sqrt{10}$，
∴20sin⁴α+3sin²α-2=0，∴${sin^2}α=\frac{1}{4}$，
∴$sinα=\frac{1}{2}∴α=\frac{π}{6}或α=\frac{5π}{6}$．

点评 本题考查直线的参数方程和曲线的直角坐标方程的求法，考查线段长的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．