Question

10．已知函数f（x）=$\frac{ln（2x）}{x}$，关于x的不等式f²（x）+af（x）＞0只有两个整数解，则实数a的取值范围是（　　）

• A． $（-ln2，-\frac{1}{3}ln6]$
• B． $（-\frac{1}{e}，-\frac{ln6}{3}]$
• C． $[\frac{1}{3}ln6，ln2）$
• D． $[\frac{ln6}{3}，\frac{2}{e}）$

Answer 1

分析 判断f（x）的单调性，作出f（x）的图象，利用函数图象得出a的范围．

解答 解：f′（x）=$\frac{1-ln（2x）}{{x}^{2}}$，令f′（x）=0得x=$\frac{e}{2}$，
∴当0＜x＜$\frac{e}{2}$时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
当x＞$\frac{e}{2}$时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
由当x$＜\frac{1}{2}$时，f（x）＜0，当x$＞\frac{1}{2}$时，f（x）＞0，
作出f（x）的大致函数图象如图所示：

∵f²（x）+af（x）＞0，
（1）若a=0，即f²（x）＞0，显然不等式有无穷多整数解，不符合题意；
（2）若a＞0，则f（x）＜-a或x＞0，
由图象可知f（x）＞0有无穷多整数解，不符合题意；
（3）若a＜0，则f（x）＜0或f（x）＞-a，
由图象可知f（x）＜0无整数解，故f（x）＞-a有两个整数解，
∵f（1）=f（2）=ln2，且f（x）在（$\frac{e}{2}$，+∞）上单调递减，
∴f（x）＞-a的两个整数解必为x=1，x=2，
又f（3）=$\frac{ln6}{3}$，
∴$\frac{ln6}{3}$≤-a＜ln2，解得-ln2＜a≤-$\frac{ln6}{3}$．
故选：A．

点评 本题考查了函数的单调性判断，不等式的解与函数图象的关系，属于中档题．