Question

16．函数$f（x）=\frac{1}{x}{log_2}（{{4^x}+1}）-1$的图象（　　）

• A． 关于原点对称
• B． 关于y轴对称
• C． 关于x轴对称
• D． 关于直线y=x对称

Answer 1

分析 根据对数运算性质、指数运算性质化简f（x），f（-x），判断f（x）的奇偶性，即可得出结论．

解答 解：f（x）=$\frac{1}{x}$log₂（4^x+1）-1=log₂（4^x+1）${\;}^{\frac{1}{x}}$-1=log₂$\frac{（{4}^{x}+1）^{\frac{1}{x}}}{2}$，
f（-x）=log₂$\frac{（{4}^{-x}+1）^{-\frac{1}{x}}}{2}$=log₂$\frac{1}{2•（{4}^{-x}+1）^{\frac{1}{x}}}$=log₂[$\frac{1}{2}•$（$\frac{1}{{4}^{-x}+1}$）${\;}^{\frac{1}{x}}$]
=log₂[$\frac{1}{2}$•（$\frac{{4}^{x}}{1+{4}^{x}}$）${\;}^{\frac{1}{x}}$]=log₂$\frac{2}{（1+{4}^{x}）^{\frac{1}{x}}}$，
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）是奇函数，f（x）的函数图象关于原点对称．
故选A．

点评 本题考查了指数运算性质，对数运算性质，函数奇偶性的判断，属于中档题．