Question

12．如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则下列命题中，正确的为①②④（填序号）．
①AC⊥BD；②AC∥截面PQMN；③AC=BD；④异面直线PM与BD所成的角为45°．

Answer 1

分析 利用线面平行与垂直的判定定理和性质定理、正方形的性质、异面直线所成的角即可判定．

解答 解：在四面体ABCD中，∵截面PQMN是正方形，∴PQ∥MN，PQ?平面ACD，MN?平面ACD，∴PQ∥平面ACD．
∵平面ACB∩平面ACD=AC，∴PQ∥AC，可得AC∥平面PQMN．
同理可得BD∥平面PQMN，BD∥PN．∵PN⊥PQ，∴AC⊥BD．
由BD∥PN，∴∠MPN是异面直线PM与BD所成的角，且为45°．
由上面可知：BD∥PN，PQ∥AC．$\frac{PN}{BD}=\frac{AN}{AD}，\frac{MN}{AC}=\frac{DN}{AD}$
而AN≠DN，PN=MN，∴BD≠AC．
综上可知：①②④都正确．
故答案为：①②④．

点评 本题考查了线面平行与垂直的判定定理和性质定理、正方形的性质、异面直线所成的角，属于中档题．