Question

13．在直角坐标系xOy中，点P（0，$\sqrt{3}$），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为${ρ^2}=\frac{4}{{1+{{cos}^2}θ}}$．直线l的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{2}t}\\{y=\sqrt{3}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t}\end{array}}\right.（t$为参数）．
（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
（Ⅱ）设直线l与曲线C的两个交点分别为A，B，求$\frac{1}{|PA|}$+$\frac{1}{|PB|}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由曲线C的极坐标方程能求出曲线C的直角坐标方程；直线l的参数方程消去t，能求出直线l的普通方程．
（Ⅱ）点P（0，$\sqrt{3}$）在直线l：$\sqrt{3}x+y=\sqrt{3}$上，将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得5t²+12t-4=0，设两根为t₁，t₂，则${t}_{1}+{t}_{2}=-\frac{12}{5}$，${t}_{1}{t}_{2}=-\frac{4}{5}$，由此能求出$\frac{1}{|PA|}$+$\frac{1}{|PB|}$．

解答 解：（Ⅰ）∵曲线C的极坐标方程为${ρ^2}=\frac{4}{{1+{{cos}^2}θ}}$，
∴曲线C的直角坐标方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$，
∵直线l的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{2}t}\\{y=\sqrt{3}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t}\end{array}}\right.（t$为参数），
∴消去t得直线l的普通方程为$\sqrt{3}x+y=\sqrt{3}$．…（5分）
（Ⅱ）点P（0，$\sqrt{3}$）在直线l：$\sqrt{3}x+y=\sqrt{3}$上，将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，
得2（-$\frac{1}{2}t$）²+（$\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}t$）²=4，∴5t²+12t-4=0，
设两根为t₁，t₂，则${t}_{1}+{t}_{2}=-\frac{12}{5}$，${t}_{1}{t}_{2}=-\frac{4}{5}$，故t₁与t₂异号，
∴|PA|+|PB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\frac{4\sqrt{14}}{5}$，
|PA|•|PB|=|t₁•t₂|=-t₁t₂=$\frac{4}{5}$，
∴$\frac{1}{|PA|}$+$\frac{1}{|PB|}$=$\frac{|PA|+|PB|}{|PA|•|PB|}$=$\sqrt{14}$．…（10分）

点评 本题考查曲线的直角坐标方程及直线的普通方程的求法，考查两线段倒数和的取值范围的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．