Question

设函数f（x）=x²e^x-1-

1

3

x³-x²（x∈R）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）当x∈（1，+∞）时，用数学归纳法证明：?n∈N^*，e^x-1＞

xn

n!

（其中n!=1×2×…×n）．

Answer 1

考点：数学归纳法,利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的综合应用,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）利用导数求函数的单调区间，关键点有二，一是求对导函数，二是解不等式f′（x）＞0，得到x的范围，再兼顾函数的定义域，列出当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况表，将能很轻松的解答问题；
（2）本问根据要证明的不等式：?n∈N^*，e^x-1＞

xn

n!

．构造出函数设g_n（x）=e^x-1-

xn

n!

，在利用数学归纳法证明出当n∈N^*时有假设n=k时不等式成立，即g_k（x）=e^x-1-

xk

k!

＞0，这还要借助于导数来解答．

解答： （1）解：f′（x）=2xe^x-1+x²e^x-1-x²-2x=x（x+2）（e^x-1-1），
令f′（x）=0，可得x₁=-2，x₂=0，x₃=1．
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，-2）	-2	（-2，0）	0	（0，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-	0	+
f（x）	↓	极小值	↑	极大值	↓	极小值	↑

所以函数y=f（x）的增区间为（-2，0）和（1，+∞），减区间为（-∞，-2）和（0，1）；
（2）证明：设g_n（x）=e^x-1-

xn

n!

，
当n=1时，只需证明g₁（x）=e^x-1-x＞0，当x∈（1，+∞）时，g₁′（x）=e^x-1-1＞0，
所以g₁（x）=e^x-1-x在（1，+∞）上是增函数，
所以g₁（x）＞g₁（1）=e⁰-1=0，即e^x-1＞x；
当x∈（1，+∞）时，假设n=k时不等式成立，即g_k（x）=e^x-1-

xk

k!

＞0，
当n=k+1时，
因为g′_k+1（x）=e^x-1-

(k+1)•xk

(k+1)!

=e^x-1-

xk

k!

＞0，
所以g_k+1（x）在（1，+∞）上也是增函数．
所以g_k+1（x）＞g_k+1（1）=e⁰-

1

(k+1)!

＞0，
即当n=k+1时，不等式成立．
由归纳原理，知当x∈（1，+∞）时，?n∈N^*，e^x-1＞

xn

n!

．

点评：本题是一道好题，利用导数研究函数的性态是高考常考，重点考查的内容，本题还明确要求利用数学归纳法证明不等式，与本例中具体函数的性质结合紧密，这也是高考考题的新颖设计，在解答本题时要仔细领会其中的深意，将对自己的解题能力水平有很大帮助和提高．