Question

设双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x²+1相切，则该双曲线的离心率等于（　　）

• A、

  3

• B、

  6

• C、

  5

• D、2

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：求出双曲线的渐近线方程，代入抛物线方程，运用相切的条件：判别式为0，解方程，可得a，b的关系，再由双曲线的a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到．

解答： 解：双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±

b

a

x，
代入抛物线方程y=x²+1，
得x²±

b

a

x+1=0，
由相切的条件可得，判别式

b2

a2

-4=0，
即有b=2a，则c=

a2+b2

=

4a2+a2

=

5

a，
则有e=

c

a

=

5

．
故选C．

点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率的求法，考查直线和曲线相切的条件，考查运算能力，属于基础题．