题目内容
函数f（x）=
ax3+x2+x+1（a≠0）在区间（0，1]上单调递增，则实数a的取值范围为（ ）
| 1 |
| 3 |
| A、（-∞，-3] |
| B、[-3，0）∪（0，+∞） |
| C、（-∞，-3）∪（0，+∞） |
| D、[-3，0） |
考点：利用导数研究函数的单调性
专题：导数的综合应用
分析：问题转化为a≥-
-
在区间（0，1]上恒成立，令g（x）=-
-
，（0＜x≤1），求出函数g（x）的导数，得到其单调性，从而求出g（x）的最大值，进而求出a的范围．
| 2 |
| x |
| 1 |
| x2 |
| 2 |
| x |
| 1 |
| x2 |
解答：
解：∵f（x）=
ax3+x2+x+1（a≠0）在区间（0，1]上单调递增，
∴f′（x）=ax2+2x+1≥0在区间（0，1]上恒成立，
∴a≥-
-
在区间（0，1]上恒成立，
令g（x）=-
-
，（0＜x≤1），
∴g′（x）=
+
＞0，
∴g（x）在（0，1]单调递增，
∴g（x）max=g（1）=-3，
∴a≥-3，且a≠0，
故选：B．
| 1 |
| 3 |
∴f′（x）=ax2+2x+1≥0在区间（0，1]上恒成立，
∴a≥-
| 2 |
| x |
| 1 |
| x2 |
令g（x）=-
| 2 |
| x |
| 1 |
| x2 |
∴g′（x）=
| 2 |
| x2 |
| 2 |
| x3 |
∴g（x）在（0，1]单调递增，
∴g（x）max=g（1）=-3，
∴a≥-3，且a≠0，
故选：B．
点评：本题考查了函数的单调性，考查了导数的应用，考查了转化思想，是一道中档题．
练习册系列答案
相关题目
函数f（x）=(x-5)0+(x-2)-
的定义域是（ ）
| 1 |
| 3 |
| A、{x|x∈R且x≠5，x≠2} |
| B、{x|x＞2} |
| C、{x|x＞5} |
| D、{x|2＜x＜5或x＞5} |
如图是长和宽分别相等的两个矩形，给定下列四个命题：双曲线
-
=1与椭圆
+
=1（a＞0，m＞b＞0）的离心率互为倒数，则（ ）
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| x2 |
| m2 |
| y2 |
| b2 |
| A、a2+b2=m2 |
| B、a+b=m |
| C、a2=b2+m2 |
| D、a=b+m |
一个几何体的三视图如图所示，其中主（正）视图是边长为2的正三角形，俯视图是正方形，那么该几何体的左（侧）视图的面积是（ ）直线l的方向向量
=（-1，1，1），平面π的法向量为
=（2，x2+x，-x），若直线l∥平面π，则实数x的值为（ ）
| s |
| n |
| A、-2 | ||
B、-
| ||
C、
| ||
D、±
|