Question

（本小题满分14分）已知函数，，其中，为自然对数的底数．

（Ⅰ）当时，求函数的极小值；

（Ⅱ）对，是否存在，使得成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由；

（Ⅲ）设，当时，若函数存在三个零点，且，求证： ．

Answer 1

（Ⅰ）1－ln2；（Ⅱ）；（Ⅲ）见解析

【解析】

试题分析：（Ⅰ）直接利用导数可得单调区间和极小值；（Ⅱ）函数存在三个零点，表示极大值g（0）大于零而极小值g（）小于零，得到m的范围，进而得到g（－1）和g（e）的范围，由此得出a，b，c满足的不等关系；（Ⅲ）由题意，，而，，∴，解出m的范围即可.

试题解析：（Ⅰ）时，．

∴ 1分

由，解得；由，解得；

∴在上单调递减，上单调递增． 2分

∴． 2分

（Ⅱ）令，其中

由题意，对恒成立，

∵

∵，∴在二次函数中，，

∴对恒成立

∴对恒成立， ∴在上单减．

∴，即．

故存在使对恒成立． 4分

（Ⅲ），易知为函数的一个零点，

∵，∴，因此据题意知，函数的最大的零点，

下面讨论的零点情况，

∵．

易知函数在上单调递减，在上单调递增．

由题知必有两个零点，

∴，解得，

∴，即． 3分

∴． 1分

又．

．

．

，得证． 1分

考点：利用导数研究函数性质，函数的单调性，极值，范围问题，恒成立问题