Question

设f（x）=

2x

x+2

，x₁=1，x_n=f（x_n-1）（n≥2，n∈N^*）
（1）求x₂，x₃，x₄的值；
（2）归纳并猜想{x_n}的通项公式；
（3）用数学归纳法证明你的猜想．

Answer 1

考点：数学归纳法,归纳推理

专题：计算题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）利用f（x）=

2x

x+2

，x₁=1，x_n=f（x_n-1），计算可得x₂，x₃，x₄的值；
（2）由（1）猜想{x_n}的通项公式；
（3）利用数学归纳法证明步骤证明即可．

解答： 解：（1）∵f（x）=

2x

x+2

，x₁=1，x_n=f（x_n-1），
∴x₂=f（x₁）=

2

3

，x₃=f（x₂）=

2

4

，x₄=f（x₃）=

2

5

；
（2）猜想{x_n}的通项公式x_n=

2

n+1

；
（3）①n=1时，x₁=

2

1+1

=1，成立；
②假设n=k时结论成立，即x_k=

2

k+1

，则
x_k+1=f（x_k）=

2• 2 k+1

2 k+1 +2

=

2

(k+1)+1

，
∴n=k+1时，结论成立．
由①②可知x_n=

2

n+1

．

点评：本题考查归纳推理，数学归纳法，正确猜想，掌握数学归纳法的证明步骤是关键．