Question

已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）=

x+ 1 x

([x]+1)([ 1 x ]+1)

，其中[x]表示不小于x的最小整数，如[2]=2，[0.3]=1，[2.3]=3．
（1）求f（π）的值，其中π为圆周率；
（2）若在区间（2，3]上存在x，使得f（x）≤k成立，求实数k的取值范围；
（3）求函数f（x）的值域．

Answer 1

考点：函数的值域

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）分开化简求值，（2）化简函数表达式，求导确定函数单调性，将恒成立问题化为最值问题；（3）分类讨论函数的取值，再求并集．

解答： 解：（1）∵[π]=4，[

1

π

]=1，
∴f(π)=

π+ 1 π

(4+1)×(1+1)

=

π2+1

10π

．
（2）∵2＜x≤3，
∴[x]=3，[

1

x

]=1．
则f(x)=

x+ 1 x

(3+1)×(1+1)

=

1

8

(x+

1

x

)．
求导得，f′(x)=

1

8

(1-

1

x2

)，
当2＜x≤3时，显然有f′（x）＞0，
则f（x）在区间（2，3]上递增，
即可得f（x）在区间（2，3]上的值域为(

5

16

，

5

12

]，
在区间（2，3]上存在x，使得f（x）≤k成立，
则k≥

5

16

．
（3）∵f(x)=f(

1

x

)恒成立，且x＞0，不妨设x≥1．易知f(1)=

1+1

(1+1)×(1+1)

=

1

2

，
下面讨论x＞1的情况．
当x∈（1，2]时，[x]=2，[

1

x

]=1．
则f(x)=

1

6

(x+

1

x

)∈(

1

3

，

5

12

]=I1，
当x∈（n，n+1]，n∈N⁺，n≥2时，[x]=n+1，[

1

x

]=1.f(x)=

1

2(n+2)

(x+

1

x

)
设g(x)=x+

1

x

，g′(x)=1-

1

x2

＞0，所以g（x）在[1，+∞）上是增函数，
故当n≥2时，f(x)∈(

n2+1

2n(n+2)

，

(n+1)2+1

2(n+1)(n+2)

]=In，n∈N⁺，n≥2，
因此f（x）的值域为{

1

2

}∪I1∪I2∪I3∪…∪In∪…
记an=

n2+1

2n(n+2)

，bn=

(n+1)2+1

2(n+1)(n+2)

.an+1-an=

2n2-3

2n(n+1)(n+2)(n+3)

当n≥2时，a_n+1-a_n＞0，即a₂＜a₃＜…＜a_n＜…bn+1-bn=

n-1

2(n+1)(n+2)(n+3)

当n≥2时，b_n+1-b_n＞0，即b₂＜b₃＜…＜b_n＜…
而an+1-bn=

1

2(n+3)

(n+1+

1

n+1

)-

1

2(n+2)

(n+1+

1

n+1

)＜0，
所以I_n∩I_n+1≠∅．
故f（x）的值域为{

1

2

}∪(a1，b1]∪(a2，b2]∪(a3，b3]∪…∪(an，bn]∪…

={ 1 2 }∪(a1，b1]∪(a2， lim n→∞ bn) ={ 1 2 }∪( 1 3 ， 5 12 ]∪( 5 16 ， 1 2 )

=(

5

16

，

1

2

]．

点评：本题重在将大问题分开化为小问题，考查导数的综合应用，属于难题．