题目内容

设函数y=f（x）的定义域为（0，+∞），若对给定的正数K，定义fK（x）=
K  ，f(x)≤K
f(x)，f(x)＞K
，则当函数f（x）=
1
x
，K=1时，
∫
2
1
4
fK（x）dx=
 
．
考点：定积分
专题：导数的概念及应用
分析：根据fk（x）的定义求出fk（x）的表达式，然后根据积分的运算法则即可得到结论．
解答： 解：由定义可知当k=1时，f1（x）=
1，
1
x
≤1
1
x
，
1
x
＞1
，即f1（x）=
1．x≥1
1
x
，0＜x＜1
，
则定积分
∫
2
1
4
fK（x）dx=
∫
1
1
4
1
x
dx+
∫
2
1
1dx=lnx|
 
1
1
4
+x|
 
2
1
=ln1-ln
1
4
+2-1=1+2ln2，
故答案为：1+2ln2．
点评：本题主要考查积分的计算，利用函数的定义求出函数的表达式是解决本题的关键．
练习册系列答案
相关题目
设z为虚数，且z+
1
z
+1=0．
（1）求z；
（2）求z+z2+z3+…+z2013的值；
（3）若复数z所对应的点在第二象限，w∈C，且1≤|w-4z|≤2，求|w|的范围．
已知函数y=（sinx+cosx）2+2cos2x．
（1）求它的递增区间；
（2）求它的最大值和最小值．
设{an}是由正数组成的等比数列，且a5a6=81，log3a1+log3a2+…+log3a10的值是
 
．
已知圆x2+y2+x-6y+m=0与直线x+2y-3=0相交于P，Q两点，O为坐标原点，若OP⊥OQ，则m的值为
 
．
若a，b∈R，且4≤a2+b2≤9，则a2-ab+b2的最小值是
 
．
函数y=
3cosx+1
cosx-2
的值域为
 
．
已知单位向量
i
，
j
的夹角为θ（0＜θ＜π），若
a
=x
i
+y
j
，如图，则（x，y）叫做向量
a
的[θ]坐标，记作
a
=（x，y）θ，有以下命题：
①已知
a
=(2，-1)60°，则|
a
|=
5
；
②若
a
=（x1，y1）θ，
b
=（x2，y2）θ，则
a
+
b
=（x1+x2，y1+y2）θ；
③若
a
=（x1，y1）θ，
b
=（x2，y2）θ，则
a
•
b
=x1x2+y1y2；
④若
OB
（x2，y2）θ，
OC
=（x3，y3）θ，
OA
=（x1，y1）θ，且A，B，C三点共线，则x3=λx1+（1-λ）x2，（λ∈R）．上述命题中正确的有
 
．（将你认为正确的都写上）
给出定义：设f'（x）是函数y=f（x）的导数，f''（x）是函数f'（x）的导数，若方程f''（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．重庆武中高2015级某学霸经探究发现：任何一个一元三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）都有“拐点”，且该“拐点”也为该函数的对称中心．若f（x）=x3-
3
2
x2+
1
2
x+1，则f(
1
2015
)+f(
2
2015
)+…+f(
2014
2015
)=
 
．

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