题目内容
如图在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=PA=2，PA⊥平面ABCD，E是PC的中点，F是AB中点．（Ⅰ）求证：BE∥平面PDF
（Ⅱ）求PD与平面PAB所成角的正弦值．
考点：直线与平面所成的角,直线与平面平行的判定
专题：空间位置关系与距离,空间角
分析：（Ⅰ）取PD的中点M，由三角形的中位线定理，结合已知条件，易证明四边形MEBF是平行四边形，且BE∥MF，结合线面平行的判定定理，即可得到BE∥平面PDF．
（Ⅱ）以A为原点，垂直于AD、AP的方向为x轴，AD，AP的方向为y轴、z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出PD与平面PAB所成角的正弦值．
（Ⅱ）以A为原点，垂直于AD、AP的方向为x轴，AD，AP的方向为y轴、z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出PD与平面PAB所成角的正弦值．
解答：
（Ⅰ）证明：取PD的中点M，
∵E是PC的中点，
∴ME是△PCD的中位线，
∴ME∥FB，
∴四边形MEBF是平行四边形，∴BE∥MF，
∵BE?平面PDF，MF?平面PDF，
∴BE∥平面PDF．
（Ⅱ）解：以A为原点，垂直于AD、AP的方向为x轴，AD，AP的方向为y轴、z轴，
建立空间直角坐标系，
则P（0，0，2），D（0，2，0），A（0，0，0），B（
，1，0），
∴
=（0，2，-2），
=（0，0，-2），
=(
，1，-2)，
设平面PAB的法向量
=（x，y，z），
则
，
取x=
，得
=（
，-3，0），
设PD与平面PAB所成角为θ，
则sinθ=|cos＜
，
＞|=|
|=
．
∴PD与平面PAB所成角的正弦值为
．
∵E是PC的中点，
∴ME是△PCD的中位线，
∴ME∥FB，
∴四边形MEBF是平行四边形，∴BE∥MF，
∵BE?平面PDF，MF?平面PDF，
∴BE∥平面PDF．
（Ⅱ）解：以A为原点，垂直于AD、AP的方向为x轴，AD，AP的方向为y轴、z轴，
建立空间直角坐标系，
则P（0，0，2），D（0，2，0），A（0，0，0），B（
| 3 |
∴
| PD |
| PA |
| PB |
| 3 |
设平面PAB的法向量
| n |
则
|
取x=
| 3 |
| n |
| 3 |
设PD与平面PAB所成角为θ，
则sinθ=|cos＜
| n |
| PD |
| 2×(-3) | ||||
|
| ||
| 4 |
∴PD与平面PAB所成角的正弦值为
| ||
| 4 |
点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查直线与平面所成角的求法，是中档题，解题时要注意向量法的合理运用．
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