Question

如图所示的矩形ABCD中，BC=2AB，M是AD的中点，以BM为折痕将△ABM向上折起，使得平面ABM⊥平面BCDM．
（1）证明：AB⊥平面AMC；
（2）已知AB=2，求四棱锥A-BCDM的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的判定

专题：计算题,证明题,空间位置关系与距离

分析：（1）推CM⊥AB，AB⊥AM，证明AB⊥平面AMC；（2）梯形BCDM中解面积，高为AO，从而求出体积．

解答： 解：（1）证明：设AB=a，BC=2a，由题意BM=CM=

2

a；
则BM²+CM²=BC²，即BM⊥CM．
而平面ABM⊥平面BCDM，BM是平面ABM与平面BCDM的交线，
∴CM⊥平面ABM，AB⊆平面ABM
∴CM⊥AB，
∴CM⊥AB，又∵AB⊥AM
∴AB⊥平面AMC．
（2）在△BCM中，AB=AM=2，O为BM的中点
∴AO⊥BM，
平面ABM⊥平面BCDM，AO⊥平面BCDM，AO=

2

，
在梯形BCDM中，DM=CD=2，BC=4，S=

1

2

•6•2=6
V_A-BCDM=

1

3

×S×AO=

1

3

×6×

2

=2

2

．

点评：本题考查了线面垂直关系的证明，属于基础题．