题目内容
已知矩形 A BCD的周长为18，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为 ．
考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
专题：计算题,空间位置关系与距离
分析：正六棱柱的底面边长为x，高为y，则6x+y=9，0＜x＜1.5，表示正六棱柱的体积，利用基本不等式求最值，求出正六棱柱的外接球的半径，即可求出外接球的表面积．
解答：
解：设正六棱柱的底面边长为x，高为y，则6x+y=9，0＜x＜1.5，
正六棱柱的体积V=6×
x2y=
•3x•3x•(9-6x)≤
[
]3=
，
当且仅当x=1时，等号成立，此时y=3，
可知正六棱柱的外接球的球心是其上下底面中心连线的中点，则半径为
=
，
∴外接球的表面积为4π×
=13π．
故答案为：13π．
正六棱柱的体积V=6×
| ||
| 4 |
| ||
| 6 |
| ||
| 6 |
| 3x+3x+(9-6x) |
| 3 |
9
| ||
| 2 |
当且仅当x=1时，等号成立，此时y=3，
可知正六棱柱的外接球的球心是其上下底面中心连线的中点，则半径为
1+
|
| ||
| 2 |
∴外接球的表面积为4π×
| 13 |
| 4 |
故答案为：13π．
点评：本题考查外接球的表面积，考查基本不等式的运用，确定正六棱柱的外接球的半径是关键．
练习册系列答案
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B、4
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| D、8 |
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| B、8π | ||
C、
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D、
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