Question

用放缩法证明：

1

2

-

1

n+1

＜

1

22

+

1

32

+

1

n2

＜

n-1

n

（n=2，3，4…）

Answer 1

考点：反证法与放缩法

专题：证明题,推理和证明

分析：利用放缩法，结合裂项求和，即可证明结论．

解答： 证明：

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＞

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

=

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

=

1

2

-

1

n+1

；

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

(n-1)n

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

=1-

1

n

，
∴：

1

2

-

1

n+1

＜

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜

n-1

n

．

点评：本题考查放缩法，正确放缩、裂项求和是关键．