Question

已知函数f（x）=b•a^x（其中a，b为常数且a＞0，a≠1）的图象经过点A（1，6），B（3，24）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若对于任意的x∈（-∞，1]，（

1

a

）^x+（

1

b

）^x-m≥0恒成立，求m的取值范围；
（3）若g（x）=

x•f(x)

2x(x2+1)

，试用定义法证明g（x）在区间[1，+∞）上单调递减．

Answer 1

考点：指数函数综合题

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）运用代入法，解方程组，即可得到a，b，进而得到f（x）的解析式；
（2）不等式化为m≤（

1

2

）^x+（

1

3

）^x在x≤1恒成立，运用指数函数的单调性求得右边的最小值即可；
（3）运用单调性的定义证明，注意作差、变形和定符号、下结论几个步骤．

解答： （1）解：由题意可得

b•a=6 b•a3=24

，
解得a=2，b=3．
即有f（x）=3•2^x；
（2）解：对于任意的x∈（-∞，1]，（

1

a

）^x+（

1

b

）^x-m≥0恒成立，
即为对于任意的x∈（-∞，1]，（

1

2

）^x+（

1

3

）^x-m≥0恒成立．
即有m≤（

1

2

）^x+（

1

3

）^x在x≤1恒成立，
由于y=（

1

2

）^x+（

1

3

）^x在x≤1递减，即有y≥

1

2

+

1

3

=

5

6

，
即y的最小值为

5

6

，
则m≤

5

6

．
即有m的取值范围是（-∞，

5

6

]；
（3）证明：g（x）=

x•f(x)

2x(x2+1)

=

3x•2x

2x(x2+1)

=

3x

x2+1

，
设m＞n≥1，则g（m）-g（n）=

3m

1+m2

-

3n

1+n2

=

3(/m-n)(1-mn)

(1+m2)(1+n2)

，
由m＞n≥1，则m-n＞0，mn＞1，1-mn＜0，1+m²＞0，1+n²＞0，
则g（m）-g（n）＜0，即g（m）＜g（n）．
则g（x）在区间[1，+∞）上单调递减．

点评：本题考查函数的解析式的求法，考查不等式恒成立问题注意转化为求函数最值，考查定义法证明函数的单调性的方法，考查运算能力，属于中档题．