Question

已知函数f（x）=

1

2

x²-x-alnx，a∈R．
（1）若f（x）在区间[

1

3

，+∞）上单调递增，求a的取值范围；
（2）试讨论f（x）的单调区间．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）利用f（x）在区间[

1

4

，+∞)上单调递增，f′（x）≥0恒成立，得到a≤x²-x，求出二次函数在[

1

3

，+∞)的最小值，即可得到a的取值范围．
（2）求出导数，构造函数g（x）=x²-x-a，考察函数g（x）=x²-x-a，计算△=1+4a，1⁰．当△＞0分两种情况讨论：①当a≥0时：求出函数单调区间．②当-

1

4

＜a＜0时：求出函数的单调区间．
2⁰．当△≤0即a≤-

1

4

时，g（x）≥0对任意的x∈（0，+∞）恒成立，得到当a≤-

1

4

时，f（x）的单调增区间为（-∞，+∞）．

解答： （本题14分）
解：（1）因为f（x）在区间[

1

4

，+∞)上单调递增，则当x∈[

1

3

，+∞)，f′（x）≥0恒成立…（2分）
由f′(x)=x-1-

a

x

≥0得：a≤x²-x
因为二次函数y=a≤x2-x=(x-

1

2

)2-

1

4

在[

1

3

，+∞)的最小值为-

1

4

，…（4分）
从而有a≤-

1

4

，
所以，当a≤-

1

4

时，f（x）在[

1

3

，+∞)上单调递减．…（5分）
（2）f′(x)=x-1-

a

x

=

x2-x-a

x

，构造函数g（x）=x²-x-a，则f′(x)=

g(x)

x

，
∵函数f(x)=

1

2

x2-x-alnx的定义域为（0，+∞），
∴g（x）与f'（x）同正负…（6分）
考察函数g（x）=x²-x-a，计算△=1+4a，
下面对△进行讨论1⁰．当△＞0即a＞-

1

4

时，
分两种情况讨论：
①当a≥0时：
当x∈(

1+ 1+4a

2

，+∞)时，g（x）＞0，即f'（x）＞0，
所以f（x）的单调增区间为(

1+ 1+4a

2

，+∞)；
且当x∈(0，

1+ 1+4a

2

)时，g（x）＜0，即f'（x）＜0，
所以f（x）的单调减区间为(0，

1+ 1+4a

2

)…（8分）
②当-

1

4

＜a＜0时：
当x∈(0，

1- 1+4a

2

)和x∈(

1+ 1+4a

2

，+∞)时，g（x）＞0，即f'（x）＞0，
所以f（x）的单调增区间为(0，

1- 1+4a

2

)和(

1+ 1+4a

2

，+∞)；…（9分）
当x∈(

1- 1+4a

2

，

1+ 1+4a

2

)时，g（x）＜0，即f'（x）＜0，
所以f（x）的单调减区间为(

1- 1+4a

2

，

1+ 1+4a

2

)…（10分）
2⁰．当△≤0即a≤-

1

4

时，g（x）≥0对任意的x∈（0，+∞）恒成立，
所以f'（x）≥0对任意的x∈（0，+∞）恒成立，
所以f（x）的单调增区间为（-∞，+∞）…（12分）
综上，当a≥0时，f（x）的单调增区间为(

1+ 1+4a

2

，+∞)，单调减区间为(0，

1+ 1+4a

2

)
当-

1

4

＜a＜0时，f（x）的单调增区间为(0，

1- 1+4a

2

)和(

1+ 1+4a

2

，+∞)，
单调减区间为(

1- 1+4a

2

，

1+ 1+4a

2

)
当a≤-

1

4

时，f（x）的单调增区间为（-∞，+∞）…（14分）

点评：本题考查函数的导数的应用，函数的单调性，分类讨论以及构造法的应用，考查导数的综合应用．