Question

设首项为1的正项等比数列{a_n}的前n项和为S_n，且2¹⁰S 30+S10=(210+1)S20，则数列{a_n}的公比为

 

；S₂₀=

 

．

Answer 1

考点：等比数列的前n项和,等比数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：设公比为q，则q＞0，由已知式子可得q¹⁰=

1

210

，可得q=

1

2

，进而由求和公式可得．

解答： 解：设首项为1的正项等比数列{a_n}的公比为q，则q＞0，
∵2¹⁰S 30+S10=(210+1)S20，∴2¹⁰（S₃₀-S₂₀）=S₂₀-S₁₀，
∴2¹⁰（S₂₀-S₁₀）q¹⁰=S₂₀-S₁₀，
∴q¹⁰=

1

210

，∴q=

1

2

，
∴S₂₀=

1×(1- 1 220 )

1- 1 2

=2-

1

219

故答案为：

1

2

；2-

1

219

点评：本题考查等比数列的求和公式，涉及等比数列的性质，属中档题．