Question

已知实数x，y满足2^x+2+4^y=2^x+2y+1，则2^x+4^y的最小值是（　　）

• A、4
• B、

  9

  2

• C、6
• D、9

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：根据指数幂的运算法则进行化简，利用换元法结合一元二次方程根的分布进行求解即可．

解答： 解：∵2^x+2+4^y=2^x+2y+1，
∴2×2^x2^2y=4×2^x+4^y，①
设t=2^x+4^y，则t＞0，
则4^y=t-2^x，
则①等价为2×2^x（t-2^x）=4×2^x+t-2^x，
整理得2（2^x）²+（3-2t）2^x+t=0，
设m=2^x，则m＞0，
则方程2（2^x）²+（3-2t）2^x+t=0等价为2m²+（3-2t）m+t=0，
有正根，
则满足

△=(3-2t)2-8t≥0 2t＞0 - 3-2t 2 ＞0

，
即

4t2-20t+9≥0 t＞0 3-2t＜0

，即

t≥ 9 2 或t≤ 1 2 t＞0 t＞ 3 2

，
解得t≥

9

2

，
∴2^x+4^y的最小值是

9

2

，
故选：B

点评：本题主要考查函数最值的求解，利用换元法结合一元二次方程根的分布是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．