Question

CD是正△ABC的边AB上的高，E，F分别是AC和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B，如图所示．
（Ⅰ）试判断折叠后直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；
（Ⅱ）若AC=2，求棱锥E-DFC的体积；
（Ⅲ）在线段AC上是否存在一点P，使BP⊥DF？如果存在，求出

AP

AC

的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）AB∥平面DEF．在△ABC中，E，F分别是AC和BC的中点，由此能证明AB∥平面DEF．
（Ⅱ）由已知条件推导出AD⊥平面BCD，取CD的中点M，能求出EM⊥平面BCD，EM=1，由此能求出棱锥E-DFC的体积．
（Ⅲ）在线段AC上存在点P，使BP⊥DF．在AC上取点P，使AP=

AC

3

，过点P作PQ⊥CD于Q，由此能求出

AP

AC

=

1

3

．

解答： 解：（Ⅰ）AB∥平面DEF．理由如下：
∵CD是正△ABC的边AB上的高，E，F分别是AC和BC边的中点，
现将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B，
如图，在△ABC中，E，F分别是AC和BC的中点，∴EF∥AB，
∵AB不包含于平面DEF，EF?平面DEF，
∴AB∥平面DEF．
（Ⅱ）∵CD是正△ABC的边AB上的高，
∴AD⊥CD，BD⊥CD，
将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B，
依然满足AD⊥CD，BD⊥CD，
∴CD⊥平面ABD，
在直二面角A-DC-B中，
∵AD⊥CD，∴AD⊥平面BCD，
∵BD?平面BCD，∴AD⊥BD，
取CD的中点M，则EM∥AD，∴EM⊥平面BCD，
∵AC=2，△ABC是正三角形，∴BC=2，AD=BD=1，
∴EM=

1

2

AD=

1

2

，S_△DFC=

1

2

×1×

CD

2

=

1

4

3

，
∴V_E-DFC=

1

3

×EM×S△DFC=

1

3

•

1

2

•

1

4

3

=

3

24

．
（Ⅲ）在线段AC上存在点P，使BP⊥DF．
证明：在AC上取点P，使AP=

AC

3

，
过点P作PQ⊥CD于Q，
连结DF，BQ，交于点O，
在Rt△BCD中，∵BD=BF=DF=1，∴∠BDO=60°，
∵DQ=

1

3

CD=

3

3

，∴tan∠DBO=

DQ

BD

=

3

3

，
∴∠DBO=30°，∴∠BOD=90°，∴DF⊥BQ，
∵DF⊥CQ，BQ∩CQ=Q，
∴DF⊥平面BPQ，∴BP⊥DF，
此时AP=

1

3

AC，∴

AP

AC

=

1

3

．

点评：本题考查直线与平面的位置关系的判断与证明，考查棱锥体积的求法，考查满足条件的点提否存在的判断，解题时要注意空间思维能力的培养．