Question

1．已知函数f（x）=|x-1|．
（Ⅰ）解不等式f（x-1）+f（x+3）≥6；
（Ⅱ）若|a|＜1，|b|＜1，且b≠0，求证：f（ab）＞|b|f（$\frac{a}{b}$）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用绝对值的应用将函数表示成分段函数形式，即可求f（x-1）+f（x+3）≥6的解集；
（Ⅱ）利用分析法，要证f（ab）＞|a|f（$\frac{a}{b}$），只需证证（ab-1）²＞（b-a）²，再作差证明即可．

解答 解：（Ⅰ）由f（x-1）+f（x+3）≥6得|x-2|+|x+2|≥6，
若x≥2，则不等式等价为x-2+x+2≥6，即2x≥6，x≥3，
若-2＜x＜2，则不等式等价为-x+2+x+2≥6，即4≥6，此时不等式无解，
若x≤-2，则不等式等价为-（x-2）-（x+2）≥6，即-2x≥6，x≤-3，
综上x≥3或x≤-3，即不等式解集为（-∞，-3]∪[3，+∞）；    …（5分）
（Ⅱ）∵f（ab）＞|b|f（$\frac{a}{b}$）．等价为|ab-1|＞|b||$\frac{a}{b}$-1|=|a-b|，
∴要证：|ab-1|＞|b||$\frac{a}{b}$|成立，
只需证：|ab-1|＞|a-b|成立，
只需证（ab-1）²＞（b-a）²，
而（ab-1）²-（b-a）²=a²b²-a²-b²+1=（a²-1）（b²-1）＞0显然成立，
从而原不等式成立．   …（10分）

点评 本题考查绝对值不等式的解法，通过对x范围的分析讨论，去掉绝对值符号，利用一次函数的单调性求最值是关键，考查运算与推理证明的能力，属于中档题．